Równania ośrodków ciągłych

Wymagania:

Seminarium adresowane jest do studentów wszystkich specjalności zainteresowanych matematyką i jej zastosowaniami. Będzie prowadzone na dość zaawansowanym poziomie. Wymagane jest wcześniejsze zaliczenie dowolnego wykładu z równań różniczkowych.

Opis:

Matematyka, której uczą się studenci na wykładach z Analiza matematycznej i Algebry liniowej powstała podczas prób opisania i zrozumienia zjawisk przyrodniczych. W ramach tego seminarium powróćmy do źródeł i wyjaśnimy jak rozumieć należy pochodną funkcji, całkę, wzór na całkowanie przez części jak również macierz, jej wartości własne i wyznacznik.

Celem seminarium będzie zaprezentowanie podstawowych idei fizycznych i aparatu matematycznego służących do opisu dynamiki płynu lub gazu. Dynamika takich płynów opiera się na podstawowych prawach fizyki, tj. na prawie zachowania masy oraz na prawach zachowania pędu. Odpowiednie sformułowanie tych praw dla ośrodka płynnego jest możliwe dzięki wykorzystaniu analizy matematycznej, rachunku wektorowego, równań różniczkowych i funkcji zmiennej zespolonej.

Literatura:

• H. Kudela, Matematyczne wprowadzenie do mechaniki płynów, PWr., 2021 Plik PDF 

• C. Marchioro, M. Pulvirenti, "Mathematical Theory of Incompressible Nonviscous Fluids", Springer-Verlag.

• A.J. Chorin ,J .E. Marsden, "A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics", Springer-Verlag.

Zasady zaliczenia przedmiotu

Wkrótce zostaną ogłoszone

Przydział zagadnień

1. Wprowadzenie: Mechanika klasyczna, mechanika Newtona, pole wektorowe, tensory (GK)

   • wg książki V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1989

A. Kinetyka ośrodka ciągłego 

2. Operator dywergencji i Tw. Gaussa-Stokesa (Kudela 1.5.2) (IS)

3. Dowód Tw. Gaussa-Stokesa o dywergencji (SzSmo) Divergence theorem 

4. Operator rotacji (Kudela 1.5.3) (BD)

5. Opis ruchu ośrodka ciągłego w zmiennych Lagrange'a i w zmiennych Eulera (Kudela 2.2.1) (FW)

6. Trajektoria cząstki, linie wysnute i linie prądu (Kudela 2.2.2) (MWer)

7. Pochodna lokalna, konwekcyjna i substancjalna (Kudela, 2.2.3) (BK)

8. Pochodna Jakobianu (Kudela 2.2.4) (MWiś)

9. Twierdzenie transportowe (Kudela 2.3) (KK)

10. Kinetyka deformacji ośrodka ciągłego (Kudela 2.4) (MB)

11. Własności tensora symetrycznego  (Kudela 2.4.1) (IS)

12. Własności tensora antysymetrycznego (Kudela 2.4.2) (MWer)

B. Zasada zachowania masy i pędu dla ośrodka ciągłego

1.  Zasada zachowania masy i równanie ciągłości w zmiennych Lagrange’a (MIBa)

2.  Przepływ nieściśliwy (KrKr) 2025.01.13

3.  Równanie Burgersa (BaDrz) 2025.01.20

4.  Zasada zachowania pędu dla układu n punktów materialnych (MaWi) 2025.01.27

5.  Prawo zachowania pędu dla ośrodka ciągłego (BaKu) 2025.01.27

6.  Zasada lokalnej równowagi naprężeń i Równania ruchu ośrodka ciągłego (FiWo) chyba nie zdążymy - zrobić na zaliczenie

C. Zadania na zaliczenie seminarium 

Każdej osobie przydzielony zostanie jeden temat. Student powinien samodzielnie przeczytać go i opowiedzieć prowadzącemu. 

Termin: do końca sesji zimowej roku akad. 2024/2025.

Proszę o kontakt z prowadzącym w przypadku wątpliwości skąd pochodzą te tematy.

• Skalarne prawa zachowania pierwszego rzędu: shocks i warunek entropijny  MarWer
  Evans, Rozdz. 3.4.1
  
  

• Energia kinetyczna przepływu potencjalnego i twierdzenie Thomsona SzSmo
  Kudela, Rozdz. 4.2.1
  
  

• Równanie Bernoulliego MiBa
  Kudela, Rozdz. 4.2.2

• Prawo zachowania momentu pędu KrKr
  Kudela, Rozdz. 3.3.1-3.3.3
  
  

• Zasada zachowania pędu MaWi
  Kudela, Rozdz. 3.4.1-3.4.3
  
  

• Równanie Eulera dla cieczy nielepkiej BaKu
  Kudela, Rozdz. 4.1
  
  

• Dekompozycja Hodge’a + Wyznaczanie pola ciśnień metodą projekcji BaDrz
  Kudela, Rozdz. 4.1.3 + 4.1.4
  
  

• Przepływy potencjalne IgSe
  Kudela, Rozdz. 4.2 i 4.2.1
  
  

•