Równania ośrodków ciągłych

Wymagania:

Seminarium adresowane jest do studentów wszystkich specjalności zainteresowanych matematyką i jej zastosowaniami. Będzie prowadzone na dość zaawansowanym poziomie. Wymagane jest wcześniejsze zaliczenie dowolnego wykładu z równań różniczkowych.

Opis:

Matematyka, której uczą się studenci na wykładach z Analiza matematycznej i Algebry liniowej powstała podczas prób opisania i zrozumienia zjawisk przyrodniczych. W ramach tego seminarium powróćmy do źródeł i wyjaśnimy jak rozumieć należy pochodną funkcji, całkę, wzór na całkowanie przez części jak również macierz, jej wartości własne i wyznacznik.

Celem seminarium będzie zaprezentowanie podstawowych idei fizycznych i aparatu matematycznego służących do opisu dynamiki płynu lub gazu. Dynamika takich płynów opiera się na podstawowych prawach fizyki, tj. na prawie zachowania masy oraz na prawach zachowania pędu. Odpowiednie sformułowanie tych praw dla ośrodka płynnego jest możliwe dzięki wykorzystaniu analizy matematycznej, rachunku wektorowego, równań różniczkowych i funkcji zmiennej zespolonej.

Literatura:

• H. Kudela, Matematyczne wprowadzenie do mechaniki płynów, PWr., 2021 Plik PDF 

• C. Marchioro, M. Pulvirenti, "Mathematical Theory of Incompressible Nonviscous Fluids", Springer-Verlag.

• A.J. Chorin ,J .E. Marsden, "A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics", Springer-Verlag.

Zasady zaliczenia przedmiotu

Wkrótce zostaną ogłoszone

Przydział zagadnień

1. Wprowadzenie: Mechanika klasyczna, mechanika Newtona, pole wektorowe, tensory (GK)

   • wg książki V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1989

A. Kinetyka ośrodka ciągłego 

2. Operator dywergencji i Tw. Gaussa-Stokesa (Kudela 1.5.2) (IS)

3. Dowód Tw. Gaussa-Stokesa o dywergencji (SzSmo) Divergence theorem 

4. Operator rotacji (Kudela 1.5.3) (BD)

5. Opis ruchu ośrodka ciągłego w zmiennych Lagrange'a i w zmiennych Eulera (Kudela 2.2.1) (FW)

6. Trajektoria cząstki, linie wysnute i linie prądu (Kudela 2.2.2) (MWer)

7. Pochodna lokalna, konwekcyjna i substancjalna (Kudela, 2.2.3) (BK)

8. Pochodna Jakobianu (Kudela 2.2.4) (MWiś)

9. Twierdzenie transportowe (Kudela 2.3) (KK)

10. Kinetyka deformacji ośrodka ciągłego (Kudela 2.4) (MB)

11. Własności tensora symetrycznego  (Kudela 2.4.1) (IS)

12. Własności tensora antysymetrycznego (Kudela 2.4.2) (MWer)