Wymagania:
Seminarium adresowane jest do studentów wszystkich specjalności zainteresowanych matematyką i jej zastosowaniami. Będzie prowadzone na dość zaawansowanym poziomie. Wymagane jest wcześniejsze zaliczenie dowolnego wykładu z równań różniczkowych.
Opis:
Matematyka, której uczą się studenci na wykładach z Analiza matematycznej i Algebry liniowej powstała podczas prób opisania i zrozumienia zjawisk przyrodniczych. W ramach tego seminarium powróćmy do źródeł i wyjaśnimy jak rozumieć należy pochodną funkcji, całkę, wzór na całkowanie przez części jak również macierz, jej wartości własne i wyznacznik.
Celem seminarium będzie zaprezentowanie podstawowych idei fizycznych i aparatu matematycznego służących do opisu dynamiki płynu lub gazu. Dynamika takich płynów opiera się na podstawowych prawach fizyki, tj. na prawie zachowania masy oraz na prawach zachowania pędu. Odpowiednie sformułowanie tych praw dla ośrodka płynnego jest możliwe dzięki wykorzystaniu analizy matematycznej, rachunku wektorowego, równań różniczkowych i funkcji zmiennej zespolonej.
Literatura:
H. Kudela, Matematyczne wprowadzenie do mechaniki płynów, PWr., 2021 Plik PDF
C. Marchioro, M. Pulvirenti, "Mathematical Theory of Incompressible Nonviscous Fluids", Springer-Verlag.
A.J. Chorin ,J .E. Marsden, "A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics", Springer-Verlag.
Zasady zaliczenia przedmiotu
Wkrótce zostaną ogłoszone
Przydział zagadnień
Wprowadzenie: Mechanika klasyczna, mechanika Newtona, pole wektorowe, tensory (GK)
wg książki V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1989
A. Kinetyka ośrodka ciągłego
Operator dywergencji i Tw. Gaussa-Stokesa (Kudela 1.5.2) (IS)
Dowód Tw. Gaussa-Stokesa o dywergencji (SzSmo) Divergence theorem
Operator rotacji (Kudela 1.5.3) (BD)
Opis ruchu ośrodka ciągłego w zmiennych Lagrange'a i w zmiennych Eulera (Kudela 2.2.1) (FW)
Trajektoria cząstki, linie wysnute i linie prądu (Kudela 2.2.2) (MWer)
Pochodna lokalna, konwekcyjna i substancjalna (Kudela, 2.2.3) (BK)
Pochodna Jakobianu (Kudela 2.2.4) (MWiś)
Twierdzenie transportowe (Kudela 2.3) (KK)
Kinetyka deformacji ośrodka ciągłego (Kudela 2.4) (MB)
Własności tensora symetrycznego (Kudela 2.4.1) (IS)
Własności tensora antysymetrycznego (Kudela 2.4.2) (MWer)
B. Zasada zachowania masy i pędu dla ośrodka ciągłego
Zasada zachowania masy i równanie ciągłości w zmiennych Lagrange’a (MIBa)
Przepływ nieściśliwy (KrKr) 2025.01.13
Równanie Burgersa (BaDrz) 2025.01.20
Zasada zachowania pędu dla układu n punktów materialnych (MaWi) 2025.01.27
Prawo zachowania pędu dla ośrodka ciągłego (BaKu) 2025.01.27
Zasada lokalnej równowagi naprężeń i Równania ruchu ośrodka ciągłego (FiWo) chyba nie zdążymy - zrobić na zaliczenie
C. Zadania na zaliczenie seminarium
Każdej osobie przydzielony zostanie jeden temat. Student powinien samodzielnie przeczytać go i opowiedzieć prowadzącemu.
Termin: do końca sesji zimowej roku akad. 2024/2025.
Proszę o kontakt z prowadzącym w przypadku wątpliwości skąd pochodzą te tematy.
Skalarne prawa zachowania pierwszego rzędu: shocks i warunek entropijny MarWer
Evans, Rozdz. 3.4.1
Energia kinetyczna przepływu potencjalnego i twierdzenie Thomsona SzSmo
Kudela, Rozdz. 4.2.1
Równanie Bernoulliego MiBa
Kudela, Rozdz. 4.2.2
Prawo zachowania momentu pędu KrKr
Kudela, Rozdz. 3.3.1-3.3.3
Zasada zachowania pędu MaWi
Kudela, Rozdz. 3.4.1-3.4.3
Równanie Eulera dla cieczy nielepkiej BaKu
Kudela, Rozdz. 4.1
Dekompozycja Hodge’a + Wyznaczanie pola ciśnień metodą projekcji BaDrz
Kudela, Rozdz. 4.1.3 + 4.1.4
Przepływy potencjalne IgSe
Kudela, Rozdz. 4.2 i 4.2.1