Opis wykładu Równania Różniczkowe 1 R w roku akademickim 2024/2025
Terminy
Wykład: poniedziałek, godz. 12:15-15:00 sala B
Ćwiczenia: czwartek, godz. 12:15-14:00
grupa Grzegorz Karcha, sala WS
grupa Krzysztofa Krawczyka, sala 601
Pierwszy wykład: 24 lutego
Pierwsze ćwiczenia: 27 lutego
Konsultacje
G. Karch, pn. 11:00-12:00, czw. 11:00-12:00.
K. Krawczyk, czw. 11:00-12:00.
Wszystkie materiały do wykładu (tj. listy zadań, podręczniki) dostępne są tutaj: MATERIAŁY
Literatura do wykładu
Shair Ahmad, Antonio Ambrosetti, Differential Equations: A first course on ODE and a brief introduction to PDE (De Gruyter Textbook) 2019.
Andrzej Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne: teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2017
Martin Brown, Differential Equations and Their Applications, An Introduction to Applied Mathematics, Springer-Verlag, 1983
Wymagania na zaliczenie wykładu:
Wykład kończy się egzaminem pisemnym.
Na ćwiczeniach zostaną przeprowadzone trzy kolokwia.
Aktywność na ćwiczeniach podnosi pozytywną ocenę z ćwiczeń o pół stopnia. Należy mieć co najmniej 8 punktów aktywności (maksymalnie do zdobycia 2 punkty na jednych zajęciach).
Wykład 1 (2025-02-24)
Modele jednej populacji: prawa Mathusa, Volperta, Newtona, model logistyczny
Motywacje do badania równań różniczkowych
Metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania zupełne i czynnik całkujący
Wykład 2 (2025-03-03)
Zasada kontrakcji Banacha.
Twierdzenie Picarda-Lindelöfa (istnienie i jednoznaczność rozwiązań)
Lemat Gronwalla
Wykład 3 (2025-03-10)
Przedłużanie rozwiązań.
Informacja o twierdzeniu Peano (dowód na wykładzie RR2R)
Niejednoznaczność rozwiązań
Modele jednej populacji - zastosowanie
Ciągła zależność od warunków początkowych.
Schemat Eulera - numeryczne przybliżanie rozwiązań
Wykład 4 (2025-03-17)
Układy równań różniczkowych - wprowadzenie - Twierdzenie Picarda-Lindelöfa
Układy liniowe. Baza i przestrzeń rozwiązań.
Macierz eksponencjalna - postać wykładnicza macierzy.
Wykład 5 (2025-03-24)
Postać wykładnicza macierzy - własności i metody obliczania
Macierz fundamentalna.
Równania liniowe drugiego rzędu o stałych i zmiennych współczynnikach - ogólna teoria.
Równania drugiego rzędu liniowe jednorodne o stałych współczynnikach
Wykład 6 (2025-04-31)
Równania drugiego rzędu liniowe niejednorodne.
Zastosowania równań zwyczajnych: równanie wahadła, drgania i rezonans
Metody znajdowania rozwiązania szczególnego dla równań liniowych niejednorodnych: zgadywanie i metoda uzmienniania stałych
Metoda szeregów potęgowych
Wykład 7 (2025-04-07)
Transformata Laplace'a i jej zastosowania równań różniczkowych
Stabilność w sensie Lapunowa
Wykład 8 (2025-04-14)
Stabilność układów liniowych
Stabilność układów nieliniowych i twierdzenia o linearyzacji
Portret fazowy układów liniowych