Wymagania:
Seminarium adresowane jest do studentów wszystkich specjalności zainteresowanych matematyką i jej zastosowaniami. Będzie prowadzone na dość zaawansowanym poziomie. Wymagane jest wcześniejsze zaliczenie dowolnego wykładu z równań różniczkowych.
Opis:
Matematyka, której uczą się studenci na wykładach z Analiza matematycznej i Algebry liniowej powstała podczas prób opisania i zrozumienia zjawisk przyrodniczych. W ramach tego seminarium powróćmy do źródeł i wyjaśnimy jak rozumieć należy pochodną funkcji, całkę, wzór na całkowanie przez części jak również macierz, jej wartości własne i wyznacznik.
Celem seminarium będzie zaprezentowanie podstawowych idei fizycznych i aparatu matematycznego służących do opisu dynamiki płynu lub gazu. Dynamika takich płynów opiera się na podstawowych prawach fizyki, tj. na prawie zachowania masy oraz na prawach zachowania pędu. Odpowiednie sformułowanie tych praw dla ośrodka płynnego jest możliwe dzięki wykorzystaniu analizy matematycznej, rachunku wektorowego, równań różniczkowych i funkcji zmiennej zespolonej.
Literatura:
H. Kudela, Matematyczne wprowadzenie do mechaniki płynów, PWr., 2021 Plik PDF
O. Gonzalez, A. M. Stuart. A First Course in Continuum Mechanics (Cambridge Texts in Applied Mathematics, Series Number 42) 1st Edition. Plik PDF
R. Temam and A. Miranville, Mathematical Modeling in Continuum Mechanics, 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2005. Plik PDF
Zasady zaliczenia przedmiotu
Wygłoszenie co najmniej dwóch odczytów na zajęciach z materiałów udostępnionych przez wykładowcę. Ocena zależeć będzie od tego jak student będzie przygotowany do wystąpienia.
Przydział tematów
Wprowadzenie: Mechanika klasyczna, mechanika Newtona, pole wektorowe (GK)
wg książki V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1989
A. Kinetyka ośrodka ciągłego
Deformacje. Opis ruchu ośrodka ciągłego w zmiennych Lagrange'a i w zmiennych Eulera (Kudela 2.2.1 oraz Temam-Miranville 1.1 i początek 1.2) JŻ
Trajektoria cząstki, linie wysnute i linie prądu (Kudela 2.2.2) AŁ
Pochodna lokalna, konwekcyjna i substancjalna (Kudela, 2.2.3) KŻ
Pochodna Jakobianu (Kudela 2.2.4) JK
Twierdzenie transportowe (Kudela 2.3) VD
Gradient wektora deformacji (Goznales-Stuart 4.3.1, 4.3.2, 4.3.2.1,) BC
Własności tensora symetrycznego (Kudela 2.4.1) AS
Własności tensora antysymetrycznego (Kudela 2.4.2) DH
B. Zasada zachowania masy i pędu dla ośrodka ciągłego
Zasada zachowania masy i równanie ciągłości w zmiennych Lagrange’a (Kudela 3.1) JŻ
Przepływ nieściśliwy (Kudela 3.1.2) AP
Równanie Burgersa (Kudela 3.1.3) IC
Zasada zachowania pędu dla układu n punktów materialnych i prawo zachowania pędu dla ośrodka ciągłego (Kudela 3.2.1, 3.2.2) AŁ
Zasada lokalnej równowagi naprężeń i równania ruchu ośrodka ciągłego (Kudela 3.2.3, 3.2.4) KŻ